Suites décroissantes et inégalités de Cauchy

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

On considère les suites $(x_{n})_{n \geq 0}$ de réels strictement positifs vérifiant $x_{0} = 1$ et, pour tout $i \geq 0$ , $x_{i + 1} \leq x_{i}$ .

1. Montrer que pour chacune de ces suites, il existe un entier $n \geq 0$ tel que :

$\frac{x _{0}^{2}}{x _{1}} + \frac{x _{1}^{2}}{x _{2}} + \dots + \frac{x _{n - 1}^{2}}{x _{n}} \geq 3, 999$

2. Trouver une telle suite vérifiant, pour tout $n \geq 1$ :

$\frac{x _{0}^{2}}{x _{1}} + \frac{x _{1}^{2}}{x _{2}} + \dots + \frac{x _{n - 1}^{2}}{x _{n}} \leq 4$

(OIM, 1982)