Matrice avec progressions arithmétique et géométrique

On place $n^2$ ($n\ge 4$) nombres réels strictement positifs dans $n$ lignes et $n$ colonnes :

$$\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}$$

Les nombres dans chaque ligne forment une progression arithmétique de raison $q$, et les nombres dans chaque colonne forment une progression géométrique de raison $q$ également. On suppose que : $a_{24}=1$, $a_{42}=\frac{1}{8}$ et $a_{43}=\frac{3}{16}$.

Déterminer la valeur de la somme $S$ des termes diagonaux : $S=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}$.