Somme de fractions rationnelles produit

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $a$ , $b$ et $c$ des nombres réels vérifiant $ab + b c + c a = 1$ . Montrer que :

$\frac{a}{a ^{2} + 1} + \frac{b}{b ^{2} + 1} + \frac{c}{c ^{2} + 1} = \frac{2}{( a + b ) ( b + c ) ( c + a )}$