Puissances septièmes et périodicité

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

On suppose que le nombre $m$ vérifie $m^{7} = 1$ . Déterminer la valeur de :

$m^{100} + \frac{1}{m ^{100}} + m^{300} + \frac{1}{m ^{300}} + m^{500} + \frac{1}{m ^{500}}$