Sous-suite arithmétique d'une suite définie par étage

Soit $(a_n{)}_{n\ge 1}$ la suite définie par $a_1=2021$, et pour tout $n\ge 1$ :

$$a_{n+1}=n\cdot \lfloor \frac{a_n}{n}\rfloor +n.$$

Montrer qu'il existe une sous-suite infinie de $(a_n{)}_{n\ge 1}$ qui est une suite arithmétique.