Minoration d'une suite par la racine carrée

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soit $(a_{n})_{n \geq 0}$ la suite définie par $a_{1} = 1, a_{2} = 2$ , et pour $n \geq 2$ :

$a_{n + 1} = \frac{a _{n} a _{n - 1} + 1}{a _{n - 1}}$

Montrer que $a_{n} \geq 2 n$ pour tout $n \geq 3$ .