Suite définie par une somme de carrés normalisés

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soit $(a_{n})_{n \geq 0}$ la suite vérifiant $a_{0} = a_{1} = 1$ et pour tout $n \geq 1$ :

$a_{n + 1} = 1 + \frac{a _{1}^{2}}{a _{0}} + \dots + \frac{a _{n}^{2}}{a _{n - 1}} .$

Déterminer le terme général $a_{n}$ de la suite.