Valeur d'expression avec racines cubiques

Soient $a$, $b$, $c$ des réels deux à deux distincts. On suppose que :

$$(b-c)\cdot \sqrt[3]{a^3+1}+(c-a)\cdot \sqrt[3]{b^3+1}+(a-b)\cdot \sqrt[3]{c^3+1}=0$$

Déterminer toutes les valeurs possibles de l'expression :

$$\sqrt[3]{a^3+1}\sqrt[3]{b^3+1}\sqrt[3]{c^3+1}-(abc+1{)}^3$$