Existence d'une sous-suite croissante ordonnée

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

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Soit $f : {1, 2, 3, \dots, 2^{2020}} \to N^{*}$ une fonction vérifiant $1 \leq f (i) \leq i$ pour $1 \leq i \leq 2^{2020}$ . Montrer qu'il existe des entiers strictement positifs $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{2021}$ vérifiant :

$1 \leq a_{1} < a_{2} < \dots < a_{2021} \leq 2^{2020} et f (a_{1}) \leq f (a_{2}) \leq \dots \leq f (a_{2021})$

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