Progression géométrique dans une suite arithmétique

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

On suppose que tout les termes de la suite arithmétique $(a_{n})_{n \geq 0}$ , avec $a_{n} = a_{0} + n d$ , sont des nombres réels strictement positifs. Montrer que s'il existe deux termes de la suite $(a_{n})_{n \geq 0}$ qui peuvent s'exprimer comme des puissances distinctes d'un certain entier $c > 1$ , alors il existe une infinité de termes de la suite arithmétique $(a_{n})_{n \geq 0}$ qui forment une suite géométrique. (Autriche)

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