Fiche de révision — Seconde

Toutes les formules et pièges du programme de Seconde · lumaths.com

🔢 Nombres & calculs 📄 mémento →

Identité remarquable (somme)

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

Ex :

(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9

Identité remarquable (différence)

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$

Ex :

(x - 5)^{2} = x^{2} - 10 x + 25

Différence de deux carrés

$(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$

Ex :

(x - 2) (x + 2) = x^{2} - 4

Puissances (produit)

$a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$

Ex :

2^{3} \times 2^{4} = 2^{7} = 128

Règles des fractions

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}$

Ex :

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}

Racine carrée (produit)

$a \times b = a \times b$ (avec $a, b \geq 0$ )

Ex :

50 = 25 \times 2 = 52

Pièges à éviter

✗ $a + b \neq = a + b$
✗ $(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$ : ne pas oublier le double produit $2 ab$
✗ $\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$ MAIS $\frac{c}{a + b} \neq = \frac{c}{a} + \frac{c}{b}$

Astuce

Avant de calculer, cherche toujours à factoriser ou à reconnaître une identité remarquable : cela simplifie souvent l'expression.

⚖️ Équations & inéquations 📄 mémento →

Équation produit nul

$A \times B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0$

Ex :

(x - 2) (x + 5) = 0 ⟺ x = 2 ou x = - 5

Équation du premier degré

$a x + b = 0 ⟺ x = - \frac{b}{a}$ (avec $a \neq = 0$ )

Ex :

3 x - 6 = 0 ⟺ x = 2

Règle des signes (inéquation)

On change le sens de l'inégalité quand on multiplie ou divise par un nombre négatif

Ex :

- 2 x < 6 ⟺ x > - 3

Quotient nul

$\frac{A}{B} = 0 ⟺ A = 0 et B \neq = 0$

Ex :

\frac{x - 1}{x + 2} = 0 ⟺ x = 1

Tableau de signes d'un produit

Le signe de $A \times B$ se lit en multipliant les signes de $A$ et $B$

Ex :

(x - 1) (x - 3) > 0

pour

x < 1

x > 3

Pièges à éviter

✗ Oublier de vérifier la valeur interdite (dénominateur $\neq = 0$ ) avant de résoudre
✗ Ne PAS changer le sens de l'inégalité en multipliant par un négatif
✗ Diviser par une inconnue ( $x$ ) sans savoir si elle peut être nulle : on perd des solutions

Astuce

Pour résoudre une inéquation produit ou quotient, le tableau de signes est ton meilleur allié : ne factorise jamais en supprimant un facteur.

📈 Fonctions (généralités) 📄 mémento →

Image et antécédent

$y = f (x)$ : $y$ est l'image de $x$ , $x$ est un antécédent de $y$

Ex : Si

f (2) = 7

, l'image de

2

est

7

Fonction croissante

$f$ croissante : si $a \leq b$ alors $f (a) \leq f (b)$

Ex : La courbe "monte" de gauche à droite

Fonction décroissante

$f$ décroissante : si $a \leq b$ alors $f (a) \geq f (b)$

Ex : La courbe "descend" de gauche à droite

Résolution graphique $f(x) = k$

On cherche les abscisses des points d'intersection de $C_{f}$ avec la droite $y = k$

Ex :

f (x) = 3

: on lit les

x

où la courbe coupe

y = 3

Extremum

Maximum = plus grande valeur de $f (x)$ ; minimum = plus petite

Ex : Si le minimum de

f

est

- 4

atteint en

x = 1

, alors

f (1) = - 4

Pièges à éviter

✗ Confondre image (le $y$ ) et antécédent (le $x$ )
✗ Un nombre a UNE seule image mais peut avoir PLUSIEURS antécédents
✗ Le maximum est une valeur (un $y$ ), pas l'abscisse où il est atteint

Astuce

Lis toujours le tableau de variations de gauche à droite : les flèches montantes = croissance, descendantes = décroissance.

🧮 Fonctions de référence 📄 mémento →

Fonction carré

$f (x) = x^{2}$ : décroissante sur $] - \infty; 0]$ , croissante sur $[0; + \infty [$

Ex : Parabole de sommet

(0; 0)

, toujours positive

Fonction inverse

$f (x) = \frac{1}{x}$ : décroissante sur $] - \infty; 0 [$ et sur $] 0; + \infty [$

Ex : Hyperbole, définie pour

x \neq = 0

Fonction racine carrée

$f (x) = x$ : croissante sur $[0; + \infty [$

Ex :

9 = 3

, définie pour

x \geq 0

Fonction affine

$f (x) = a x + b$ : droite de coefficient directeur $a$ et d'ordonnée à l'origine $b$

Ex :

f (x) = 2 x + 1

: pente

2

, coupe l'axe en

(0; 1)

Coefficient directeur

$a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$

Ex : Entre

A (1; 2)

B (3; 8)

a = \frac{8 - 2}{3 - 1} = 3

Pièges à éviter

✗ $x^{2}$ n'est PAS croissante partout : elle décroît pour les $x$ négatifs
✗ La fonction inverse n'est PAS décroissante sur $R$ tout entier (elle n'est pas définie en $0$ )
✗ Une fonction affine $f (x) = a x + b$ avec $b \neq = 0$ n'est pas linéaire

Astuce

Mémorise l'allure des 4 courbes de référence : c'est la clé pour résoudre graphiquement et pour les variations.

📐 Géométrie repérée 📄 mémento →

Milieu d'un segment

$M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$

Ex : Milieu de

A (1; 2)

B (3; 6)

M (2; 4)

Distance entre deux points

$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$

Ex :

A (0; 0)

B (3; 4)

A B = 9 + 16 = 5

Équation d'une droite

$y = a x + b$ (non verticale) ou $x = c$ (verticale)

Ex :

y = 2 x - 1

a pour pente

2

Droites parallèles

Deux droites non verticales sont parallèles $⟺$ elles ont le même coefficient directeur

Ex :

y = 3 x + 1

y = 3 x - 4

sont parallèles

Appartenance à une droite

$A (x_{A}; y_{A}) \in (d) : y = a x + b ⟺ y_{A} = a x_{A} + b$

Ex :

A (2; 5) \in y = 2 x + 1

car

5 = 2 \times 2 + 1

Pièges à éviter

✗ Oublier le carré dans la formule de distance : $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$
✗ Pour le milieu on fait une SOMME puis on divise par $2$ , pas une différence
✗ Une droite verticale $x = c$ n'a PAS de coefficient directeur

Astuce

Pour montrer que des points sont alignés ou qu'une figure est particulière, calcule distances et milieux : tout se ramène aux coordonnées.

➡️ Vecteurs 📄 mémento →

Coordonnées d'un vecteur

$A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$

Ex :

A (1; 2)

B (4; 6)

A B (3; 4)

Égalité de vecteurs

$A B = C D ⟺ A B D C$ est un parallélogramme

Ex : Mêmes coordonnées

\Rightarrow

même vecteur

Somme de vecteurs (Chasles)

$A B + B C = A C$

Ex :

A B + B C = A C

(le

B

s'élimine)

Norme d'un vecteur

$∥ u ∥ = x^{2} + y^{2}$

Ex :

u (3; 4)

∥ u ∥ = 9 + 16 = 5

Colinéarité (déterminant)

$u (x; y)$ et $v (x^{'}; y^{'})$ colinéaires $⟺ x y^{'} - y x^{'} = 0$

Ex :

u (2; 4)

v (1; 2)

2 \times 2 - 4 \times 1 = 0

Pièges à éviter

✗ Coordonnées de $A B$ : c'est $x_{B} - x_{A}$ (arrivée moins départ), pas l'inverse
✗ Attention à l'ordre des points dans le parallélogramme : $A B = D C$ donne $A B C D$
✗ Colinéaire ne veut pas dire égal : deux vecteurs colinéaires ont des normes différentes en général

Astuce

La relation de Chasles et le déterminant de colinéarité résolvent presque tous les exercices : points alignés, parallélisme, parallélogrammes.

📊 Statistiques 📄 mémento →

Moyenne

$\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}$

Ex : Moyenne de

4, 6, 8

\frac{18}{3} = 6

Moyenne pondérée

$\overset{x}{ˉ} = \frac{n _{1} x _{1} + n _{2} x _{2} + \dots}{n _{1} + n _{2} + \dots}$

Ex : Coeffs

2

3

pour

10

15

\frac{2 \times 10 + 3 \times 15}{5} = 13

Médiane

Valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés égales

Ex : Série

2, 5, 9

: médiane

= 5

Étendue

$\overset{ˊ}{E} tendue = max - min$

Ex : Série de

3

18

: étendue

= 15

Écart interquartile

$IQ = Q_{3} - Q_{1}$

Ex : Si

Q_{1} = 5

Q_{3} = 12

: IQ

= 7

Pièges à éviter

✗ Calculer la médiane SANS ordonner la série au préalable
✗ Confondre moyenne (sensible aux valeurs extrêmes) et médiane (qui ne l'est pas)
✗ Pour une série de taille paire, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales

Astuce

La médiane et les quartiles résistent aux valeurs extrêmes, contrairement à la moyenne : choisis l'indicateur adapté à la question.

🎲 Probabilités 📄 mémento →

Probabilité (équiprobabilité)

$P (A) = \frac{nombre de cas favorables}{nombre de cas possibles}$

Ex : Tirer un as dans un jeu de

32

\frac{4}{32} = \frac{1}{8}

Probabilité totale

La somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$

Ex : Dé équilibré :

6 \times \frac{1}{6} = 1

Événement contraire

$P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$

Ex : Si

P (A) = 0, 3

alors

P (\overset{ˉ}{A}) = 0, 7

Réunion de deux événements

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

Ex :

P (A) = 0, 5

P (B) = 0, 4

P (A \cap B) = 0, 2

P (A \cup B) = 0, 7

Événements incompatibles

Si $A \cap B = \emptyset$ alors $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

Ex : "Pair" et "impair" :

P = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

Pièges à éviter

✗ Une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$ : jamais négative ni $> 1$
✗ Oublier de soustraire $P (A \cap B)$ dans la formule de la réunion (sauf si incompatibles)
✗ Confondre événements incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ) et événements indépendants

Astuce

Pour un calcul de probabilité, vérifie d'abord l'équiprobabilité, puis appuie-toi sur un arbre ou un tableau pour compter les cas.

Fiche créée par Lumaths · Plateforme de maths pour les élèves