Fiche de révision — Première

Toutes les formules et pièges de la spécialité Maths de Première · lumaths.com

✖️ Second degré 📄 mémento →

Discriminant

$Δ = b^{2} - 4 a c$

Ex :

x^{2} - 5 x + 6

Δ = 25 - 24 = 1 > 0

Racines (si $\Delta > 0$)

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$

Ex :

x = \frac{5 \pm 1}{2}

donc

x_{1} = 2

x_{2} = 3

Forme factorisée

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

Ex :

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

Forme canonique

$a (x - α)^{2} + β$ avec $α = \frac{- b}{2 a}$

Ex : Sommet de la parabole en

(α; β)

Somme et produit des racines

$x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}$ et $x_{1} \times x_{2} = \frac{c}{a}$

Ex :

2 + 3 = 5

2 \times 3 = 6

Signe du trinôme

$P (x)$ du signe de $a$ sauf entre les racines (si $Δ > 0$ )

Ex :

a > 0

: négatif entre

x_{1}

x_{2}

Pièges à éviter

✗ $Δ = b^{2} - 4 a c$ et non $b^{2} + 4 a c$ — attention au signe
✗ Si $Δ < 0$ : aucune racine réelle, le trinôme garde le signe de $a$
✗ Ne pas oublier le facteur $a$ dans la forme factorisée $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

Astuce

Réflexe : calculer $\Delta$ d'abord. Son signe décide tout (2 racines, 1 racine double, ou aucune).

🔢 Suites 📄 mémento →

Suite arithmétique

$u_{n + 1} = u_{n} + r$ donc $u_{n} = u_{0} + n r$

Ex :

u_{0} = 2

r = 3

u_{5} = 2 + 5 \times 3 = 17

Suite géométrique

$u_{n + 1} = q u_{n}$ donc $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$

Ex :

u_{0} = 1

q = 2

u_{5} = 2^{5} = 32

Somme (arithmétique)

$\sum = (nb termes) \times \frac{1er + dernier}{2}$

Ex :

1 + 2 + \dots + 100 = 100 \times \frac{1 + 100}{2} = 5050

Somme (géométrique)

$k = 0 \sum n q^{k} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ (si $q \neq = 1$ )

Ex :

1 + 2 + 4 + 8 = \frac{1 - 2 ^{4}}{1 - 2} = 15

Sens de variation

Étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$

Ex : Arithm. : signe de

r

. Géom. (

u_{0} > 0

) :

q > 1

croissante

Pièges à éviter

✗ Une somme de $u_{0}$ à $u_{n}$ comporte $n + 1$ termes, pas $n$
✗ Suite géométrique avec $q < 0$ : les termes alternent de signe (pas monotone)
✗ Ne pas confondre $u_{n} = u_{0} + n r$ (depuis $u_{0}$ ) et $u_{n} = u_{1} + (n - 1) r$ (depuis $u_{1}$ )

Astuce

Arithmétique : on ajoute toujours $r$. Géométrique : on multiplie toujours par $q$. Vérifier la nature avant tout calcul.

📈 Dérivation 📄 mémento →

Nombre dérivé

$f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$

Ex : Coefficient directeur de la tangente en

a

Tangente en $a$

$y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

Ex :

f (x) = x^{2}

a = 1

y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1

Dérivées usuelles

$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ , $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$

Ex :

(x^{3})^{'} = 3 x^{2}

Produit

$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$

Ex :

(x^{2} cos x)^{'} = 2 x cos x - x^{2} sin x

Quotient

$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$

Ex :

(\frac{1}{x})^{'} = \frac{- 1}{x ^{2}}

Variations

$f^{'} > 0 \Rightarrow f$ croissante ; $f^{'} < 0 \Rightarrow f$ décroissante

Ex : Extremum là où

f^{'}

s'annule en changeant de signe

Pièges à éviter

✗ Dérivée d'un quotient : c'est $u^{'} v - u v^{'}$ au numérateur, l'ordre compte (signe moins)
✗ $f^{'} (a) = 0$ ne garantit PAS un extremum : il faut un changement de signe de $f^{'}$
✗ Ne pas confondre $f^{'} (a)$ (un nombre) et $f^{'}$ (la fonction dérivée)

Astuce

Le signe de $f'$ donne les variations de $f$. Toujours dresser le tableau de signes de la dérivée.

🚀 Fonction exponentielle 📄 mémento →

Dérivée

$(e^{x})^{'} = e^{x}$

Ex : La seule fonction égale à sa dérivée (avec

f (0) = 1

)

Relation fonctionnelle

$e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$

Ex :

e^{2} \times e^{3} = e^{5}

Quotient et puissance

$e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}$ et $(e^{a})^{n} = e^{na}$

Ex :

\frac{e ^{5}}{e ^{2}} = e^{3}

Dérivée composée

$(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$

Ex :

(e^{3 x})^{'} = 3 e^{3 x}

Signe et limites

$e^{x} > 0$ pour tout $x$ ; croissante sur $R$

Ex :

e^{x} \to 0

- \infty

e^{x} \to + \infty

+ \infty

Pièges à éviter

✗ $e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$ (et non $e^{a} + e^{b}$ ) — l'addition devient un produit
✗ $e^{x}$ n'est JAMAIS nul ni négatif : $e^{x} = 0$ n'a aucune solution
✗ $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ : ne pas oublier de multiplier par $u^{'}$

Astuce

L'exponentielle transforme les sommes en produits. $e^x > 0$ toujours : pratique pour le signe d'une expression.

🔄 Trigonométrie 📄 mémento →

Relation fondamentale

$cos^{2} x + sin^{2} x = 1$

Ex : Si

cos x = \frac{3}{5}

alors

sin^{2} x = \frac{16}{25}

Conversion degrés ↔ radians

$180° = π$ rad

Ex :

60° = \frac{π}{3}

90° = \frac{π}{2}

Valeurs remarquables

$cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$ , $cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ , $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$

Ex :

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

Angles associés

$cos (- x) = cos x$ et $sin (- x) = - sin x$

Ex :

cos

est paire,

sin

est impaire

Angles supplémentaires

$cos (π - x) = - cos x$ et $sin (π - x) = sin x$

Ex :

sin \frac{5 π}{6} = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

Périodicité

$cos (x + 2 π) = cos x$ et $sin (x + 2 π) = sin x$

Ex : Période

2 π

pour

cos

sin

Pièges à éviter

✗ $cos x$ et $sin x$ restent dans $[- 1; 1]$ — jamais au-delà
✗ Bien régler la calculatrice en radians ou degrés selon l'énoncé
✗ $cos^{2} x$ signifie $(cos x)^{2}$ et non $cos (x^{2})$

Astuce

Le cercle trigonométrique permet de retrouver tous les angles associés. Le dessiner en cas de doute.

📐 Produit scalaire 📄 mémento →

Avec coordonnées

$u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$

Ex :

(2; 3) \cdot (1; 4) = 2 + 12 = 14

Avec norme et angle

$u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos θ$

Ex :

θ = 60°

, normes 2 et 3 :

2 \times 3 \times \frac{1}{2} = 3

Orthogonalité

$u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0$

Ex :

(1; 2) \cdot (- 2; 1) = - 2 + 2 = 0

donc perpendiculaires

Carré scalaire

$u \cdot u = ∥ u ∥^{2}$

Ex :

u = (3; 4)

∥ u ∥^{2} = 9 + 16 = 25

Théorème d'Al-Kashi

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$

Ex : Généralise Pythagore à un triangle quelconque

Pièges à éviter

✗ Le produit scalaire est un NOMBRE (scalaire), pas un vecteur
✗ $u \cdot v = 0$ peut venir d'un vecteur nul, pas seulement de l'orthogonalité
✗ Al-Kashi : le signe est $- 2 b c cos A$ , l'angle $A$ est opposé au côté $a$

Astuce

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Outil clé pour la perpendicularité.

🎲 Probabilités conditionnelles 📄 mémento →

Probabilité conditionnelle

$P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ (si $P (A) \neq = 0$ )

Ex :

P (A \cap B) = 0, 2

P (A) = 0, 5

P_{A} (B) = 0, 4

Probabilité d'une intersection

$P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$

Ex : Produit le long d'une branche de l'arbre

Formule des probabilités totales

$P (B) = P (A \cap B) + P (\overset{ˉ}{A} \cap B)$

Ex : Somme des branches menant à

B

Indépendance

$A$ et $B$ indép. $⟺ P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$

Ex : Alors

P_{A} (B) = P (B)

Événement contraire

$P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$

Ex :

P (A) = 0, 3

P (\overset{ˉ}{A}) = 0, 7

Pièges à éviter

✗ $P_{A} (B) \neq = P_{B} (A)$ en général — la condition n'est pas symétrique
✗ Indépendant ≠ incompatible : deux événements incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ) ne sont pas indépendants (sauf cas nul)
✗ Sur un arbre : on MULTIPLIE le long d'une branche, on ADDITIONNE les branches

Astuce

Construire un arbre pondéré : chaque branche partant d'un nœud donne une probabilité conditionnelle, et leur somme vaut 1.

📊 Variables aléatoires 📄 mémento →

Espérance

$E (X) = \sum x_{i} P (X = x_{i})$

Ex : Gain moyen attendu sur un grand nombre de parties

Variance

$V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}$

Ex : Mesure la dispersion autour de l'espérance

Écart-type

$σ (X) = V (X)$

Ex :

V (X) = 4

σ (X) = 2

Linéarité de l'espérance

$E (a X + b) = a E (X) + b$

Ex :

E (2 X + 3) = 2 E (X) + 3

Variance d'une transformation affine

$V (a X + b) = a^{2} V (X)$

Ex : Le

+ b

ne change pas la dispersion

Pièges à éviter

✗ $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ : le coefficient est au carré et le $+ b$ disparaît
✗ Vérifier que $\sum P (X = x_{i}) = 1$ avant tout calcul d'espérance
✗ $E (X^{2}) \neq = (E (X))^{2}$ — ne pas confondre dans le calcul de la variance

Astuce

L'espérance est la moyenne pondérée des valeurs. Un jeu est équitable lorsque $E(X) = 0$.

Fiche créée par Lumaths · Plateforme de maths pour les élèves