📄 Mémento Maths Expertes

✨ Nombres complexes

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

Forme algébrique et conjugué

$z = a + ib, \overline{z} = a - ib$

Ex : Pour

z = 3 + 2 i

, on a

\overline{z} = 3 - 2 i

z \overline{z} = 13

Module

$∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$

Ex :

∣3 + 4 i ∣ = 9 + 16 = 5

Forme exponentielle

$z = r e^{i θ} = r (cos θ + i sin θ)$

Ex :

1 + i = 2 e^{iπ /4}

car

r = 2

θ = \frac{π}{4}

Formule de Moivre

$(e^{i θ})^{n} = e^{in θ}$

Ex :

(cos θ + i sin θ)^{3} = cos 3 θ + i sin 3 θ

Formules d'Euler

$cos θ = \frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2}$

Ex : Linéariser :

sin θ = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2 i}

Racines n-ièmes de l'unité

$z_{k} = e^{2 ik π / n}, k = 0, \dots, n - 1$

Ex : Racines cubiques de

1

1, j = e^{2 iπ /3}, j^{2}

Affixe et transformation

$ar g (z_{B} - z_{A}) = (u, A B)$

Ex :

∣ z_{B} - z_{A} ∣ = A B

donne la distance entre deux points.

⚠️Pièges à éviter

L'argument n'est défini que pour $z \neq = 0$ et seulement modulo $2 π$ : précise toujours l'intervalle choisi.
$∣ z ∣^{2} = z \overline{z}$ et non $z^{2}$ : ne confonds pas module au carré et carré du complexe.
Pour diviser, multiplie par le conjugué du dénominateur : $\frac{1}{a + ib} = \frac{a - ib}{a ^{2} + b ^{2}}$ .

💡

À retenir

Passe en forme exponentielle pour les puissances et les produits, reste en algébrique pour les sommes : choisir la bonne forme évite presque tous les calculs lourds.

🎯

Maintenant, entraîne-toi

Des exercices corrigés sur ce chapitre t'attendent

→

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