📄 Mémento Maths Expertes

🔢 Arithmétique

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

Divisibilité

$a ∣ b ⟺ \exists k \in Z, b = k a$

Ex :

3 ∣ 12

car

12 = 3 \times 4

Division euclidienne

$a = b q + r, 0 ⩽ r < b$

Ex :

17 = 5 \times 3 + 2

donc

q = 3

r = 2

Bézout

$g cd (a, b) = 1 ⟺ \exists (u, v), a u + b v = 1$

Ex :

3 \times 5 - 2 \times 7 = 1

donc

5

7

sont premiers entre eux.

Théorème de Gauss

$a ∣ b c et g cd (a, b) = 1 \Rightarrow a ∣ c$

Ex :

5 ∣ 3 c

avec

g cd (5, 3) = 1

donne

5 ∣ c

Congruences

$a \equiv b [n] ⟺ n ∣ (a - b)$

Ex :

17 \equiv 2 [5]

car

5 ∣ 15

Petit théorème de Fermat

$p premier, p ∤ a \Rightarrow a^{p - 1} \equiv 1 [p]$

Ex :

2^{6} \equiv 1 [7]

car

7

est premier.

Lien PGCD-PPCM

$g cd (a, b) \times ppcm (a, b) = ab$

Ex : Pour

a = 12, b = 18

6 \times 36 = 216 = 12 \times 18

⚠️Pièges à éviter

Le reste d'une division euclidienne vérifie $0 ⩽ r < b$ : un reste négatif ou égal à $b$ est faux.
On peut additionner et multiplier des congruences, mais pas simplifier librement : $a c \equiv b c [n]$ n'implique $a \equiv b [n]$ que si $g cd (c, n) = 1$ .
Fermat exige $p$ premier ET $p ∤ a$ : sans ces deux hypothèses la conclusion tombe.

💡

À retenir

Pour résoudre $a^n\ [m]$, cherche d'abord l'ordre des puissances modulo $m$ : tout devient périodique, et Fermat donne souvent directement la période.

🎯

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