📄 Mémento Maths Expertes

🟪 Matrices

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

Produit matriciel

$(A B)_{ij} = k \sum a_{ik} b_{k j}$

Ex :

(1021) (1301) = (7321)

Matrice identité

$A I = I A = A$

Ex :

I_{2} = (1001)

est l'élément neutre.

Déterminant $2\times 2$

$det (a c b d) = a d - b c$

Ex :

det (2314) = 8 - 3 = 5

Inverse $2\times 2$

$A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)$

Ex :

A

est inversible

⟺ det A \neq = 0

Système linéaire

$A X = B ⟺ X = A^{- 1} B$

Ex : Si

A

inversible, le système a une unique solution

X = A^{- 1} B

Suites couplées

$U_{n + 1} = A U_{n} \Rightarrow U_{n} = A^{n} U_{0}$

Ex :

U_{n} = (u_{n} v_{n})

se calcule via

A^{n}

Puissance par diagonalisation

$A = P D P^{- 1} \Rightarrow A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$

Ex : Si

D = (2003)

alors

D^{n} = (2^{n} 0 0 3^{n})

⚠️Pièges à éviter

Le produit matriciel n'est pas commutatif : en général $A B \neq = B A$ .
$A B = O$ n'implique pas $A = O$ ou $B = O$ : il existe des diviseurs de zéro matriciels.
Une matrice n'est inversible que si $det A \neq = 0$ : ne jamais écrire $A^{- 1}$ sans vérifier ce point.

💡

À retenir

Pour calculer $A^n$, cherche une relation $A^2=\alpha A+\beta I$ ou diagonalise $A=PDP^{-1}$ : élever $D$ à la puissance $n$ est immédiat.

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