Fiche de révision — Maths Expertes

Complexes, arithmétique, matrices et graphes : l'essentiel de l'option · lumaths.com

✨ Nombres complexes 📄 mémento →

Forme algébrique et conjugué

$z = a + ib, \overline{z} = a - ib$

Ex : Pour

z = 3 + 2 i

, on a

\overline{z} = 3 - 2 i

z \overline{z} = 13

Module

$∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$

Ex :

∣3 + 4 i ∣ = 9 + 16 = 5

Forme exponentielle

$z = r e^{i θ} = r (cos θ + i sin θ)$

Ex :

1 + i = 2 e^{iπ /4}

car

r = 2

θ = \frac{π}{4}

Formule de Moivre

$(e^{i θ})^{n} = e^{in θ}$

Ex :

(cos θ + i sin θ)^{3} = cos 3 θ + i sin 3 θ

Formules d'Euler

$cos θ = \frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2}$

Ex : Linéariser :

sin θ = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2 i}

Racines n-ièmes de l'unité

$z_{k} = e^{2 ik π / n}, k = 0, \dots, n - 1$

Ex : Racines cubiques de

1

1, j = e^{2 iπ /3}, j^{2}

Affixe et transformation

$ar g (z_{B} - z_{A}) = (u, A B)$

Ex :

∣ z_{B} - z_{A} ∣ = A B

donne la distance entre deux points.

Pièges à éviter

✗ L'argument n'est défini que pour $z \neq = 0$ et seulement modulo $2 π$ : précise toujours l'intervalle choisi.
✗ $∣ z ∣^{2} = z \overline{z}$ et non $z^{2}$ : ne confonds pas module au carré et carré du complexe.
✗ Pour diviser, multiplie par le conjugué du dénominateur : $\frac{1}{a + ib} = \frac{a - ib}{a ^{2} + b ^{2}}$ .

Astuce

Passe en forme exponentielle pour les puissances et les produits, reste en algébrique pour les sommes : choisir la bonne forme évite presque tous les calculs lourds.

🔢 Arithmétique 📄 mémento →

Divisibilité

$a ∣ b ⟺ \exists k \in Z, b = k a$

Ex :

3 ∣ 12

car

12 = 3 \times 4

Division euclidienne

$a = b q + r, 0 ⩽ r < b$

Ex :

17 = 5 \times 3 + 2

donc

q = 3

r = 2

Bézout

$g cd (a, b) = 1 ⟺ \exists (u, v), a u + b v = 1$

Ex :

3 \times 5 - 2 \times 7 = 1

donc

5

7

sont premiers entre eux.

Théorème de Gauss

$a ∣ b c et g cd (a, b) = 1 \Rightarrow a ∣ c$

Ex :

5 ∣ 3 c

avec

g cd (5, 3) = 1

donne

5 ∣ c

Congruences

$a \equiv b [n] ⟺ n ∣ (a - b)$

Ex :

17 \equiv 2 [5]

car

5 ∣ 15

Petit théorème de Fermat

$p premier, p ∤ a \Rightarrow a^{p - 1} \equiv 1 [p]$

Ex :

2^{6} \equiv 1 [7]

car

7

est premier.

Lien PGCD-PPCM

$g cd (a, b) \times ppcm (a, b) = ab$

Ex : Pour

a = 12, b = 18

6 \times 36 = 216 = 12 \times 18

Pièges à éviter

✗ Le reste d'une division euclidienne vérifie $0 ⩽ r < b$ : un reste négatif ou égal à $b$ est faux.
✗ On peut additionner et multiplier des congruences, mais pas simplifier librement : $a c \equiv b c [n]$ n'implique $a \equiv b [n]$ que si $g cd (c, n) = 1$ .
✗ Fermat exige $p$ premier ET $p ∤ a$ : sans ces deux hypothèses la conclusion tombe.

Astuce

Pour résoudre $a^n\ [m]$, cherche d'abord l'ordre des puissances modulo $m$ : tout devient périodique, et Fermat donne souvent directement la période.

🟪 Matrices 📄 mémento →

Produit matriciel

$(A B)_{ij} = k \sum a_{ik} b_{k j}$

Ex :

(1021) (1301) = (7321)

Matrice identité

$A I = I A = A$

Ex :

I_{2} = (1001)

est l'élément neutre.

Déterminant $2\times 2$

$det (a c b d) = a d - b c$

Ex :

det (2314) = 8 - 3 = 5

Inverse $2\times 2$

$A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)$

Ex :

A

est inversible

⟺ det A \neq = 0

Système linéaire

$A X = B ⟺ X = A^{- 1} B$

Ex : Si

A

inversible, le système a une unique solution

X = A^{- 1} B

Suites couplées

$U_{n + 1} = A U_{n} \Rightarrow U_{n} = A^{n} U_{0}$

Ex :

U_{n} = (u_{n} v_{n})

se calcule via

A^{n}

Puissance par diagonalisation

$A = P D P^{- 1} \Rightarrow A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$

Ex : Si

D = (2003)

alors

D^{n} = (2^{n} 0 0 3^{n})

Pièges à éviter

✗ Le produit matriciel n'est pas commutatif : en général $A B \neq = B A$ .
✗ $A B = O$ n'implique pas $A = O$ ou $B = O$ : il existe des diviseurs de zéro matriciels.
✗ Une matrice n'est inversible que si $det A \neq = 0$ : ne jamais écrire $A^{- 1}$ sans vérifier ce point.

Astuce

Pour calculer $A^n$, cherche une relation $A^2=\alpha A+\beta I$ ou diagonalise $A=PDP^{-1}$ : élever $D$ à la puissance $n$ est immédiat.

🕸️ Graphes & matrices 📄 mémento →

Matrice d'adjacence

$M_{ij} = # {ar \overset{e}{ˆ} tes de i vers j}$

Ex : Triangle complet :

M = 011101110

Nombre de chemins

$(M^{n})_{ij} = # {chemins de longueur n}$

Ex :

(M^{2})_{ij}

compte les chemins de

i

j

2

étapes.

Degré d'un sommet

$d (i) = j \sum M_{ij}$

Ex : Somme des coefficients de la ligne

i

M

Lemme des poignées de main

$i \sum d (i) = 2 \times (nb d’ar \overset{e}{ˆ} tes)$

Ex :

4

sommets de degré

3

donnent

\frac{12}{2} = 6

arêtes.

Matrice de transition

$j \sum P_{ij} = 1, P_{ij} ⩾ 0$

Ex : Chaque ligne d'une chaîne de Markov somme à

1

Évolution d'un état

$π_{n + 1} = π_{n} P \Rightarrow π_{n} = π_{0} P^{n}$

Ex :

π_{n}

est un vecteur ligne de probabilités.

État stable

$π P = π, \sum π_{i} = 1$

Ex : L'état stable est le vecteur propre de

P

pour la valeur

1

Pièges à éviter

✗ L'ordre $π_{n} P$ (vecteur ligne $\times$ matrice) compte : écrire $P π_{n}$ inverse les rôles et fausse tout.
✗ Pour un graphe orienté, $M$ n'est pas symétrique : $M_{ij}$ et $M_{j i}$ peuvent différer.
✗ Cherche l'état stable en résolvant $π P = π$ avec $\sum π_{i} = 1$ , pas en calculant une limite à la main.

Astuce

Une question de graphe se traduit presque toujours en calcul matriciel : comptage de chemins via $M^n$, évolution via $P^n$ et état limite via $\pi P=\pi$.

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