Exercice 5 — Suite récurrente, monotonie et convergence On considère la suite ( a n ) n ∈ N définie par : a 0 = 0 et a n + 1 = 2 + a n pour tout n ∈ N . (On rappelle que x désigne la racine carrée positive.) Calculer a 1 , a 2 et a 3 (valeurs exactes ou arrondi à 1 0 − 3 ). Démontrer par récurrence que pour tout n ∈ N : 0 ≤ a n ≤ 2 . Démontrer par récurrence que la suite ( a n ) est croissante, c'est-à-dire que a n + 1 ≥ a n pour tout n ∈ N . En déduire que la suite ( a n ) est convergente. On notera l sa limite. Déterminer l en résolvant l'équation l = 2 + l . Justifier le choix de la valeur de l . Soit ( b n ) n ∈ N la suite définie par b n = 2 − a n pour tout n ∈ N . a. Montrer que b n + 1 ≤ 2 1 × b n pour tout n ∈ N . b. En déduire que 0 ≤ b n ≤ 2 × ( 2 1 ) n , puis que n → + ∞ lim b n = 0 .

Démonstration par récurrence et étude d'une suite complexe

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Exercice 5 — Suite récurrente, monotonie et convergence

On considère la suite $(a_{n})_{n \in N}$ définie par : $a_{0} = 0$ et $a_{n + 1} = 2 + a_{n}$ pour tout $n \in N$ .

(On rappelle que $x$ désigne la racine carrée positive.)

Calculer $a_{1}$ , $a_{2}$ et $a_{3}$ (valeurs exactes ou arrondi à $1 0^{- 3}$ ).
Démontrer par récurrence que pour tout $n \in N$ : $0 \leq a_{n} \leq 2$ .
Démontrer par récurrence que la suite $(a_{n})$ est croissante, c'est-à-dire que $a_{n + 1} \geq a_{n}$ pour tout $n \in N$ .
En déduire que la suite $(a_{n})$ est convergente. On notera $l$ sa limite.
Déterminer $l$ en résolvant l'équation $l = 2 + l$ . Justifier le choix de la valeur de $l$ .
Soit $(b_{n})_{n \in N}$ la suite définie par $b_{n} = 2 - a_{n}$ pour tout $n \in N$ .
a. Montrer que $b_{n + 1} \leq \frac{1}{2} \times b_{n}$ pour tout $n \in N$ .
b. En déduire que $0 \leq b_{n} \leq 2 \times (\frac{1}{2})^{n}$ , puis que $n \to + \infty lim b_{n} = 0$ .

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1 Indice 1

Pour l'encadrement et la croissance, raisonner par recurrence en appliquant la fonction racine (croissante) a l'hypothese.

2 Indice 2

La suite etant croissante et majoree, invoquer le theoreme de convergence monotone puis resoudre $l=\\sqrt{2+l}$.

3 Indice 3

Pour $b_n=2-a_n$, ecrire $b_{n+1}=2-\\sqrt{4-b_n}$ et se ramener a une inegalite quadratique en $b_n$.

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