Exercice 4 On considère la suite ( u n ) n ∈ N définie par : u 0 = 3 et u n + 1 = 2 u n − 5 pour tout n ∈ N . Calculer u 1 , u 2 . On pose v n = u n − 5 pour tout n ∈ N . a) Calculer v 0 . b) Montrer que ( v n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. En déduire l'expression de v n puis de u n en fonction de n. Calculer la somme S n = u 0 + u 1 + … + u n en fonction de n. Étudier le sens de variation de ( u n ) et sa limite en + ∞ .

Transformation en suite géométrique — Niveau intermédiaire

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Exercice 4

On considère la suite $(u_{n})_{n \in N}$ définie par : $u_{0} = 3$ et $u_{n + 1} = 2 u_{n} - 5$ pour tout $n \in N$ .

Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ .
On pose $v_{n} = u_{n} - 5$ pour tout $n \in N$ .
a) Calculer $v_{0}$ .
b) Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
En déduire l'expression de $v_{n}$ puis de $u_{n}$ en fonction de n.
Calculer la somme $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ en fonction de n.
Étudier le sens de variation de $(u_{n})$ et sa limite en $+ \infty$ .

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