Soit la suite ( u n ) définie par u 0 = 4 et, pour tout n ∈ N : u n + 1 = 2 1 × u n + 3 . Calculer u 1 , u 2 et u 3 . Partie A – Suite auxiliaire. On pose v n = u n − 6 pour tout n ∈ N . Montrer que ( v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. Exprimer v n puis u n en fonction de n . Partie B – Monotonie. Étudier la monotonie de la suite ( u n ). Partie C – Limite. Calculer n → + ∞ lim u n . Interpréter graphiquement ce résultat.

Étude d'une suite définie par récurrence et convergence — Bac Côte d'Ivoire 2023

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Soit la suite ( $u_{n}$ ) définie par $u_{0} = 4$ et, pour tout $n \in N$ : $u_{n + 1} = \frac{1}{2} \times u_{n} + 3$ .

Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
Partie A – Suite auxiliaire. On pose $v_{n} = u_{n} - 6$ pour tout $n \in N$ .
1. Montrer que ( $v_{n}$ ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
2. Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$ .
Partie B – Monotonie. Étudier la monotonie de la suite ( $u_{n}$ ).
Partie C – Limite. Calculer $n \to + \infty lim u_{n}$ . Interpréter graphiquement ce résultat.

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