Exercice 6 – Problème de gestion financière à Casablanca Une entreprise casablancaise étudie deux plans d'investissement sur N années (n = 0 correspondant à la 1ère année) : Plan A : Le bénéfice de la n-ième année est u n = 20 000 + 5 000 n (en dirhams). Plan B : Le bénéfice de la n-ième année est v 0 = 10 000 et v n + 1 = 1 , 2 × v n . Partie I – Étude du Plan A Montrer que ( u n ) est arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme. Calculer la somme A n = u 0 + u 1 + … + u n des bénéfices cumulés du Plan A. Partie II – Étude du Plan B Montrer que ( v n ) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme. Exprimer v n en fonction de n. Calculer la somme B n = v 0 + v 1 + … + v n des bénéfices cumulés du Plan B. (Arrondir les coefficients à 4 décimales si nécessaire.) Partie III – Comparaison et décision Montrer que pour n ≥ 1 , B n − A n = 50 000 × ( 1 , 2 n + 1 − 1 ) − 2 500 n 2 − 22 500 n − 20 000 . Étudier le signe de B n − A n pour n ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 10 } en calculant les valeurs numériques. À partir de quelle année le Plan B devient-il plus avantageux ? On admet que pour n suffisamment grand, B n − A n → + ∞ . Interpréter ce résultat dans le contexte de l'entreprise.

Problème complet : suite, comparaison et situation économique (Casablanca)

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Exercice 6 – Problème de gestion financière à Casablanca

Une entreprise casablancaise étudie deux plans d'investissement sur N années (n = 0 correspondant à la 1ère année) :

Plan A : Le bénéfice de la n-ième année est $u_{n} = 20000 + 5000 n$ (en dirhams).
Plan B : Le bénéfice de la n-ième année est $v_{0} = 10000$ et $v_{n + 1} = 1, 2 \times v_{n}$ .

Partie I – Étude du Plan A

Montrer que $(u_{n})$ est arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme.
Calculer la somme $A_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ des bénéfices cumulés du Plan A.

Partie II – Étude du Plan B

Montrer que $(v_{n})$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
Exprimer $v_{n}$ en fonction de n.
Calculer la somme $B_{n} = v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n}$ des bénéfices cumulés du Plan B. (Arrondir les coefficients à 4 décimales si nécessaire.)

Partie III – Comparaison et décision

Montrer que pour $n \geq 1$ , $B_{n} - A_{n} = 50000 \times (1, 2^{n + 1} - 1) - 2500 n^{2} - 22500 n - 20000$ .
Étudier le signe de $B_{n} - A_{n}$ pour $n \in {1, 2, 3, 4, 5, 10}$ en calculant les valeurs numériques. À partir de quelle année le Plan B devient-il plus avantageux ?
On admet que pour n suffisamment grand, $B_{n} - A_{n} \to + \infty$ . Interpréter ce résultat dans le contexte de l'entreprise.

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour le Plan A, calcule $u_{n+1}-u_n$ ; pour le Plan B, calcule le rapport $v_{n+1}/v_n$.

2 Indice 2

Utilise les formules de somme : arithmetique $A_n=(n+1)\\dfrac{u_0+u_n}{2}$, geometrique $B_n=v_0\\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

3 Indice 3

Pour comparer, etudie le signe de $B_n-A_n$ numeriquement : l'exponentielle finit par depasser le polynome.

Bloqué sur cet exercice ?

Léo peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points