Démonstration par récurrence forte et encadrement

Exercice 5 – Récurrence, encadrement et comportement asymptotique

On définit la suite $(p_n)$ par : $p_0=0$, $p_1=1$, et pour tout $n\ge 1$ : $p_{n+1}=p_n+2p_{n-1}$.

1. Calculer $p_2$, $p_3$, $p_4$ et $p_5$.
2. Équation caractéristique.
   a) On cherche les solutions de la forme $p_n=r^n$. Montrer que $r$ doit vérifier $r^2=r+2$. Résoudre cette équation.
   b) En déduire l'expression générale de $p_n$ sous la forme $p_n=A\times 2^n+B\times (-1{)}^n$, puis déterminer les constantes $A$ et $B$ en utilisant $p_0$ et $p_1$.
3. Propriété de divisibilité. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $p_n$ est un entier.
4. Encadrement.
   a) Montrer par récurrence que, pour tout $n\ge 1$ : $2^{n-1}\le p_n\le 2^n$.
   b) En déduire la limite de $\frac{p_{n+1}}{p_n}$ quand $n\to +\infty$.
5. Application. En utilisant la formule explicite, calculer $p_{10}$.