Deux sacs : probabilités totales et formule de Bayes

Énoncé

Un sac $S_1$ contient $4$ boules rouges et $2$ boules noires. Un sac $S_2$ contient $2$ boules rouges et $1$ boule noire. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On choisit au hasard l'un des deux sacs (de façon équiprobable), puis on tire une boule de ce sac. On note $R$ : « obtenir une boule rouge » et $N$ : « obtenir une boule noire ».

1. Calculer la probabilité de choisir le sac $S_1$ et d'obtenir une boule rouge.

2. Calculer $P(R)$.

3. En déduire $P(N)$.

4. Sachant que la boule tirée est noire, quelle est la probabilité qu'elle provienne du sac $S_1$ ?