Loi binomiale et loi normale – Estimation et intervalle de confiance

Une enquête menée auprès d'un échantillon de n = 400 habitants de Rabat révèle que 148 d'entre eux utilisent quotidiennement les transports en commun.

1. Calculer la fréquence f observée dans cet échantillon.
2. On modélise le nombre X d'utilisateurs quotidiens des transports en commun dans un échantillon de 400 personnes par une loi binomiale $B(400;p)$, où p est la proportion réelle dans la population. Donner $E(X)$ et $V(X)$ en fonction de p.
3. Justifier que, pour n = 400 suffisamment grand, on peut approcher la loi de X par une loi normale. Préciser les paramètres de cette loi normale.
4. En utilisant l'approximation normale et le fait que $P(|Z|\le 1,96)\approx 0,95$ pour $Z\sim N(0,1)$, construire un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % pour la proportion p.
   On admettra que l'intervalle de confiance est : $I=\left[f-1,96\times \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}};f+1,96\times \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}\right]$.
5. Peut-on affirmer, au seuil de 95 %, que la proportion d'utilisateurs quotidiens est différente de 40 % dans la population de Rabat ?