On dispose de deux urnes U 1 et U 2 . U 1 contient 4 boules rouges et 2 boules bleues. U 2 contient 3 boules rouges et 5 boules bleues. On lance un dé équilibré à 6 faces. Si le résultat est 1 ou 2 , on tire une boule dans U 1 ; sinon, on tire une boule dans U 2 . On définit les événements : A : «on tire dans U 1 » R : «la boule tirée est rouge» Calculer P ( A ) et P ( A ) . Calculer P ( R ∣ A ) et P ( R ∣ A ) . En déduire P ( R ) à l'aide de la formule des probabilités totales. Sachant que la boule tirée est rouge, calculer la probabilité qu'elle provienne de U 1 . (Formule de Bayes) Les événements A et R sont-ils indépendants ? Justifier.

Probabilités conditionnelles et indépendance – Tirage dans deux urnes

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

On dispose de deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$ .

On lance un dé équilibré à $6$ faces. Si le résultat est 1 ou 2, on tire une boule dans $U_{1}$ ; sinon, on tire une boule dans $U_{2}$ .

On définit les événements :

Calculer $P (A)$ et $P (\overline{A})$ .
Calculer $P (R ∣ A)$ et $P (R ∣ \overline{A})$ .
En déduire $P (R)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.
Sachant que la boule tirée est rouge, calculer la probabilité qu'elle provienne de $U_{1}$ . (Formule de Bayes)
Les événements $A$ et $R$ sont-ils indépendants ? Justifier.

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