Loi binomiale et probabilités conditionnelles — Dépistage médical

Dans une région , une étude épidémiologique révèle que 8 % de la population est atteinte d'une certaine maladie. Un test de dépistage est utilisé avec les caractéristiques suivantes :

• Si la personne est malade, le test est positif avec une probabilité de 0,95.
• Si la personne n'est pas malade, le test est positif avec une probabilité de 0,03.

On choisit une personne au hasard dans cette population. On note M l'événement « la personne est malade » et T l'événement « le test est positif ».

1. Calculer la probabilité que le test soit positif, $P(T)$.
2. Sachant que le test est positif, calculer la probabilité que la personne soit réellement malade. Commenter le résultat.
3. On prélève maintenant un échantillon de 15 personnes indépendantes dans cette population. On note X le nombre de personnes dont le test est positif. Justifier que X suit une loi binomiale, préciser ses paramètres, puis calculer $P(X\le 1)$ arrondi à $10^{-4}$.
4. Déterminer le plus petit entier n tel que la probabilité qu'au moins une personne parmi n ait un test positif soit supérieure à 0,99.