Loi normale et intervalle de confiance – Sondage électoral

Lors d'un sondage réalisé dans une ville française avant des élections municipales, 450 personnes sont interrogées au hasard. Parmi elles, 198 déclarent avoir l'intention de voter pour le candidat A.

1. Calculer la fréquence f observée de personnes favorables au candidat A dans cet échantillon.
2. On admet que la taille de l'échantillon est suffisamment grande pour appliquer l'approximation normale. Construire un intervalle de confiance au niveau 95 % pour la proportion p de personnes favorables au candidat A dans la population totale. On rappelle que cet intervalle est : $I=[f-1,96\times \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}};f+1,96\times \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}]$.
3. Un journaliste affirme que « plus de la moitié des électeurs de cette ville soutiennent le candidat A ». L'intervalle de confiance obtenu permet-il de valider cette affirmation ? Justifier.
4. On souhaite maintenant construire un intervalle de confiance au niveau 99 %. Sans effectuer le calcul complet, indiquer si cet intervalle sera plus large ou plus étroit que celui au niveau 95 %, et expliquer pourquoi.

On donne : $1,96^2\approx 3,84$ ; $2,58^2\approx 6,66$ ; $\sqrt{\frac{0,2464}{450}}\approx 0,0234$.