Équation différentielle, condition initiale et étude complète (condensateur)

La tension (en volts) aux bornes d'un condensateur lors d'une charge est modélisée par une fonction $u$ dérivable sur $[0;+\infty [$, où $t$ est le temps en secondes. Elle vérifie l'équation différentielle :

$$(E):u^{\prime }=-2u+12,$$

avec la condition initiale $u(0)=0$ (condensateur initialement déchargé).

1. Déterminer l'expression de $u(t)$ pour tout $t\ge 0$.

2. Déterminer la limite de $u$ en $+\infty$ et interpréter physiquement.

3. Résoudre l'inéquation $u(t)\ge 6$ d'inconnue $t\ge 0$, et donner la valeur exacte de l'instant $t_0$ à partir duquel la tension dépasse $6$ V.

4. On note $M=\underset{0}{\overset{T}{\int }}u(t)\mathrm{d}t$ la « tension cumulée » sur l'intervalle $[0;T]$ (avec $T>0$). Exprimer $M$ en fonction de $T$.