Réciproque d'une primitive et équation y''-y=0

Énoncé

Soit $F$ la primitive de $f:x\mapsto \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $F(0)=0$.

1. Montrer que $F$ est impaire.

2. Montrer que $F$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ ; on pose $G=F^{-1}$.

3. Montrer que $G$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que $G^{\prime }(x)=\sqrt{1+G^2(x)}$.

4. En déduire que $G$ est solution de l'équation $y^{\prime \prime }-y=0$, puis déterminer $G(x)$ et $F(x)$.