Résoudre l'équation homogène y ′′ − 4 y ′ + 4 y = 0 (identifier la nature des racines). Chercher une solution particulière de y ′′ − 4 y ′ + 4 y = e 2 x sous la forme y p = a x e 2 x . Donner la solution générale.

Équation y'' − 4y' + 4y = e^{2x} (racine double)

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Résoudre l'équation homogène $y^{''} - 4 y^{'} + 4 y = 0$ (identifier la nature des racines).
Chercher une solution particulière de $y^{''} - 4 y^{'} + 4 y = e^{2 x}$ sous la forme $y_{p} = a x e^{2 x}$ .
Donner la solution générale.

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1 Indice 1

Ecrire l'equation caracteristique $r^2-4r+4=0$ et regarder si elle a une racine simple, double ou complexe.

2 Indice 2

Comme le second membre $e^{2x}$ a le meme exposant que la racine double, la forme d'essai naive echoue : multiplier par $x^2$.

3 Indice 3

Injecter $y_p=ax^2e^{2x}$ dans l'equation et identifier $a$ en comparant a $e^{2x}$.

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