Croissances comparées et dérivée de ln(u)

Partie A — Limites par croissances comparées.

Déterminer les limites suivantes :

1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x)}{x^2}$.

2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }(x-\ln (x))$.

3. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln (x)$.

Partie B — Dérivée d'une composée $\ln (u)$.

On considère la fonction $g$ définie sur $]1;+\infty [$ par $g(x)=\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$.

4. Justifier que $g$ est bien définie sur $]1;+\infty [$, puis calculer $g^{\prime }(x)$.

5. En déduire le sens de variation de $g$ sur $]1;+\infty [$.