Exercice 2 — Étude d'une fonction logarithmique simple On considère la fonction f définie sur ] 0 ; + ∞ [ par : f ( x ) = ln ( x ) − x + 2 Calculer les limites de f en 0 + et en + ∞ . Interpréter graphiquement chacune. Calculer f ′ ( x ) et étudier son signe. En déduire le tableau de variations de f . Montrer que l'équation f ( x ) = 0 admet exactement deux solutions α et β avec α ∈ ] 0 ; 1 [ et β ∈ ] 1 ; + ∞ [ . (On admettra que f est continue sur ] 0 ; + ∞ [ ). Déterminer le signe de f ( x ) sur ] 0 ; + ∞ [ en fonction de α et β . Tracer l'allure de la courbe représentative de f en précisant le point de maximum.

Étude de fonction — f(x) = ln(x) − x + 2 — Niveau facile

Facile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Exercice 2 — Étude d'une fonction logarithmique simple

On considère la fonction $f$ définie sur $] 0; + \infty [$ par :

$f (x) = ln (x) - x + 2$

Calculer les limites de $f$ en $0^{+}$ et en $+ \infty$ . Interpréter graphiquement chacune.
Calculer $f^{'} (x)$ et étudier son signe. En déduire le tableau de variations de $f$ .
Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet exactement deux solutions $α$ et $β$ avec $α \in] 0; 1 [$ et $β \in] 1; + \infty [$ . (On admettra que $f$ est continue sur $] 0; + \infty [$ ).
Déterminer le signe de $f (x)$ sur $] 0; + \infty [$ en fonction de $α$ et $β$ .
Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$ en précisant le point de maximum.

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