Théorème des valeurs intermédiaires et bijection : unicité d'une solution

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=x^3+3x-5.$$

1. Déterminer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

2. Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

3. Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.

4. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.