Étude d'une fonction et continuité (Bac niveau)

Soit f définie sur $\mathbb{R}$ par :

• $f(x)=\frac{x^2-1}{|x|-1}$ si $x\ne \pm 1$
• $f(1)=2$, $f(-1)=a$ ($a\in \mathbb{R}$ à déterminer)

1. Étudier la continuité de f en $x=1$.
2. Déterminer a pour que f soit continue en $x=-1$.
3. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$.
4. Étudier la dérivabilité de f en $x=0$.