Exercice 5 Soit la fonction f définie sur ] 0 ; + ∞ [ par : f ( x ) = x + 2 − x 3 l n ( x ) Partie A : Étude de f Calculer x → 0 + lim f ( x ) et x → + ∞ lim f ( x ) . Préciser les asymptotes éventuelles. On admet que f est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ et que f ′ ( x ) = x 2 x 2 − 3 + 3 l n ( x ) . Montrer que f ′ ( x ) ≥ 0 pour tout x > 0 en étudiant la fonction g ( x ) = x 2 − 3 + 3 ln ( x ) . En déduire que l'équation f ( x ) = 0 admet une unique solution α sur ] 0 ; + ∞ [ , et montrer que α ∈ ] 0 , 1 ; 0 , 2 [ . Partie B : Suite récurrente On définit la suite ( u n ) par u 0 = 0 , 15 et u n + 1 = u n + 2 − u n 3 l n ( u n ) pour tout n ∈ N . Montrer que si u n ∈ ] 0 , 1 ; 0 , 2 [ , alors f ( u n ) > 0 , et interpréter. On admet que ( u n ) converge vers une limite ℓ . Déterminer ℓ .

Étude complète : TVI, asymptotes et suite récurrente

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Exercice 5

Soit la fonction f définie sur $] 0; + \infty [$ par :

$f (x) = x + 2 - \frac{3 l n ( x )}{x}$

Partie A : Étude de f

Calculer $x \to 0^{+} lim f (x)$ et $x \to + \infty lim f (x)$ . Préciser les asymptotes éventuelles.
On admet que f est dérivable sur $] 0; + \infty [$ et que $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 3 + 3 l n ( x )}{x ^{2}}$ . Montrer que $f^{'} (x) \geq 0$ pour tout $x > 0$ en étudiant la fonction $g (x) = x^{2} - 3 + 3 ln (x)$ .
En déduire que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α$ sur $] 0; + \infty [$ , et montrer que $α \in] 0, 1; 0, 2 [$ .

Partie B : Suite récurrente

On définit la suite $(u_{n})$ par $u_{0} = 0, 15$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 2 - \frac{3 l n ( u _{n} )}{u _{n}}$ pour tout $n \in N$ .

Montrer que si $u_{n} \in] 0, 1; 0, 2 [$ , alors $f (u_{n}) > 0$ , et interpréter.
On admet que $(u_{n})$ converge vers une limite $ℓ$ . Déterminer $ℓ$ .

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour le comportement en $+\\infty$, rappelle que $\\dfrac{\\ln(x)}{x}\\to 0$ et compare $f(x)$ a $x+2$.

2 Indice 2

Pour le signe de $f'$, etudie la fonction auxiliaire $g(x)=x^2-3+3\\ln(x)$ via sa derivee.

3 Indice 3

Montre que $g$ est strictement croissante et localise son unique zero pour en deduire les variations de $f$.

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