Exercice 2 On considère la fonction f définie sur [ 0 ; 2 ] par : f ( x ) = x 3 − 3 x + 1 Montrer que f est continue sur [ 0 ; 2 ] . Calculer f ( 0 ) , f ( 1 ) et f ( 2 ) . En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires (TVI), montrer que l'équation f ( x ) = 0 admet au moins une solution dans ] 0 ; 1 [ et au moins une solution dans ] 1 ; 2 [ . Montrer que f est strictement monotone sur [ 1 ; 2 ] (on admettra que f ′ ( x ) = 3 x 2 − 3 ). En déduire que l'équation f ( x ) = 0 admet une unique solution α dans ] 1 ; 2 [ . Encadrer α à 1 0 − 1 près.

Continuité, TVI et équation f(x) = k sur un intervalle

Facile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Exercice 2

On considère la fonction $f$ définie sur $[0; 2]$ par :

$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$

Montrer que $f$ est continue sur $[0; 2]$ .
Calculer $f (0)$ , $f (1)$ et $f (2)$ .
En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires (TVI), montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet au moins une solution dans $] 0; 1 [$ et au moins une solution dans $] 1; 2 [$ .
Montrer que $f$ est strictement monotone sur $[1; 2]$ (on admettra que $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ ). En déduire que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α$ dans $] 1; 2 [$ . Encadrer $α$ à $1 0^{- 1}$ près.

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