Suite d'intégrales et étude de convergence

Pour tout entier naturel $n$, on pose $$I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n{e}^{-x}dx.$$

1. Calculer $I_0$.

2. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier $n\ge 1$ : $$I_n=-e^{-1}+n{I}_{n-1}.$$

3. En déduire la valeur exacte de $I_1$, puis de $I_2$.

4. Justifier que la suite $(I_n)$ est positive, puis établir l'encadrement $$\frac{e^{-1}}{n+1}\le I_n\le \frac{1}{n+1}\text{pour tout }n\in \mathbb{N}.$$

5. En déduire la limite de la suite $(I_n)$.