Intégrale, inégalité et application à une suite

Exercice 6 — Encadrement d'intégrale et convergence d'une suite

Pour tout entier $n\ge 1$, on définit : $u_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n}{1+x}dx$.

1. Existence et positivité : Justifier que $u_n$ est bien définie pour tout $n\ge 1$ et que $u_n>0$.
2. Relation de récurrence :
   a) Montrer que $u_n+u_{n+1}=\frac{1}{n+1}$ pour tout $n\ge 1$.
   Indication : calculer $u_n+u_{n+1}$ en factorisant l'intégrande.
   b) En déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante.
3. Encadrement :
   Pour tout $x\in [0;1]$, montrer que : $\frac{1}{2}\cdot x^n\le \frac{x^n}{1+x}\le x^n$.
   En déduire un encadrement de $u_n$.
4. Limite :
   a) En utilisant l'encadrement de la question 3, montrer que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$.
   b) En utilisant la relation $u_n+u_{n+1}=\frac{1}{n+1}$, retrouver ce résultat.