Exercice 4 Pour tout entier naturel n , on définit : I n = 0 ∫ 1 x n e x d x . Calculer I 0 . En effectuant une intégration par parties, établir la relation de récurrence : I n = e − n ⋅ I n − 1 , pour tout entier n ≥ 1 . Calculer I 1 puis I 2 . Montrer que, pour tout entier n ≥ 0 , on a : 0 ≤ I n ≤ n + 1 e . En déduire la limite de I n quand n tend vers + ∞ .

Suite d'intégrales et relation de récurrence

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Exercice 4

Pour tout entier naturel $n$ , on définit : $I_{n} = 0 \int 1 x^{n} e^{x} d x$ .

Calculer $I_{0}$ .
En effectuant une intégration par parties, établir la relation de récurrence : $I_{n} = e - n \cdot I_{n - 1}$ , pour tout entier $n \geq 1$ .
Calculer $I_{1}$ puis $I_{2}$ .
Montrer que, pour tout entier $n \geq 0$ , on a : $0 \leq I_{n} \leq \frac{e}{n + 1}$ .
En déduire la limite de $I_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ .

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