Énoncé Pour tout entier naturel n , on pose : S n = k = 0 ∑ n k + 1 ( − 1 ) k Montrer que pour tout réel t  = − 1 : k = 0 ∑ n ( − 1 ) k t k = 1 + t 1 + 1 + t ( − 1 ) n t n + 1 . En déduire que pour tout n ∈ N ∗ : S n = ln 2 + ( − 1 ) n 0 ∫ 1 1 + t t n + 1 d t . Montrer que n → + ∞ lim S n = ln 2 .

Suite de la somme alternée et limite ln 2

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Pour tout entier naturel $n$ , on pose :

$S_{n} = k = 0 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k}}{k + 1}$

Montrer que pour tout réel $t \neq = - 1$ : $k = 0 \sum n (- 1)^{k} t^{k} = \frac{1}{1 + t} + \frac{( - 1 ) ^{n} t ^{n + 1}}{1 + t}$ .
En déduire que pour tout $n \in N^{*}$ : $S_{n} = ln 2 + (- 1)^{n} 0 \int 1 \frac{t ^{n + 1}}{1 + t} d t$ .
Montrer que $n \to + \infty lim S_{n} = ln 2$ .

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