Utilisation d'une symétrie On pose : I = 0 ∫ π 2 − sin 2 x sin x d x ; J = 0 ∫ π 2 − sin 2 x x sin x d x Montrer que J = 2 π I en posant x = π − t . Calculer I et en déduire la valeur de J .

Symétrie x = π − t et intégrale d'un produit

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

On pose :

$I = 0 \int π \frac{sin x}{2 - sin ^{2} x} d x; J = 0 \int π \frac{x sin x}{2 - sin ^{2} x} d x$

— clique pour révéler

1 Indice 1

Effectue le changement de variable $x=\\pi-t$ dans $J$ et rappelle-toi que $\\sin(\\pi-t)=\\sin t$.

2 Indice 2

Le facteur $(\\pi-t)$ se scinde : tu fais apparaitre $\\pi I$ moins une integrale identique a $J$.

3 Indice 3

Pour calculer $I$, ecris $2-\\sin^2 x=1+\\cos^2 x$ et pose $u=\\cos x$ pour te ramener a $\\frac{1}{1+u^2}$.

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