Projeté orthogonal d'un point sur un plan et droite parallèle à un plan

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{ı},\vec{ȷ},\vec{k})$. On considère le point $A(4;-1;2)$ et le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x+2y-2z+1=0$.

1. Donner un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $\mathcal{P}$ et écrire une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $A$ et orthogonale à $\mathcal{P}$.

2. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $A$ sur le plan $\mathcal{P}$ (point d'intersection de $\Delta$ et de $\mathcal{P}$).

3. En déduire la distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$, et vérifier le résultat à l'aide de la formule de la distance d'un point à un plan.

4. On considère la droite ${\mathcal{D}}^{\prime }$ passant par le point $B(0;3;1)$ et de vecteur directeur $\vec{v}(2;1;2)$. Montrer que ${\mathcal{D}}^{\prime }$ est strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$.