Projeté orthogonal et distance d'un point à un plan

L'espace est rapporté à un repère orthonormé. On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x+2y-2z+3=0$ et le point $A(4;1;-1)$.

1. Donner un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $\mathcal{P}$, puis une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $A$ et orthogonale à $\mathcal{P}$.

2. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}$.

3. Calculer la distance $AH$ du point $A$ au plan $\mathcal{P}$. Retrouver ce résultat à l'aide de la formule de la distance d'un point à un plan.

4. Déterminer les coordonnées du point $A^{\prime }$ symétrique de $A$ par rapport au plan $\mathcal{P}$, et vérifier que le milieu de $[A{A}^{\prime }]$ appartient à $\mathcal{P}$.