Étude de f(x) = eˣ/(1 + eˣ) — domaine, limites, monotonie

Soit f définie par : $f(x)=\frac{e^x}{1+e^x}$

1. Déterminer le domaine de définition $D_f$.
2. Calculer les limites de f en $+\infty$ et en $-\infty$.
3. Calculer $f^{\prime }(x)$ et étudier son signe. En déduire la monotonie de f.
4. Dresser le tableau de variations complet de f.
5. Montrer que $f(x)+f(-x)=1$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.