Exercice 6 — Rolle, paramètre et étude d'une fonction trigonométrique Partie A — Théorème de Rolle Soit g la fonction définie sur [ 0 ; π ] par g ( x ) = sin ( x ) − k x ( x − π ) , où k est un réel. Vérifier que g ( 0 ) = g ( π ) = 0 pour tout k ∈ R . Montrer que g vérifie les hypothèses du théorème de Rolle sur [ 0 ; π ] . En déduire qu'il existe c ∈ ] 0 ; π [ tel que cos ( c ) = k ( 2 c − π ) . Interpréter cette relation pour k = 0 . Partie B — Étude d'une fonction On pose k = π 1 et on définit f sur [ 0 ; π ] par f ( x ) = sin ( x ) − π x ( x − π ) . Calculer f ( 0 ) , f ( 2 π ) et f ( π ) . Calculer f ′ ( x ) et montrer que f ′ ( x ) = cos ( x ) − π 2 x − π . On admet que f ′ s'annule en un unique point x 0 ∈ ] 0 ; π [ . Montrer que x 0 = 2 π est solution de f ′ ( x ) = 0 , et vérifier. Dresser le tableau de variations de f sur [ 0 ; π ] et déterminer le maximum de f .

Théorème de Rolle, fonction trigonométrique et paramètre

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Exercice 6 — Rolle, paramètre et étude d'une fonction trigonométrique

Partie A — Théorème de Rolle

Soit $g$ la fonction définie sur $[0; π]$ par $g (x) = sin (x) - k x (x - π)$ , où $k$ est un réel.

Vérifier que $g (0) = g (π) = 0$ pour tout $k \in R$ .
Montrer que $g$ vérifie les hypothèses du théorème de Rolle sur $[0; π]$ .
En déduire qu'il existe $c \in] 0; π [$ tel que $cos (c) = k (2 c - π)$ . Interpréter cette relation pour $k = 0$ .

Partie B — Étude d'une fonction

On pose $k = \frac{1}{π}$ et on définit $f$ sur $[0; π]$ par $f (x) = sin (x) - \frac{x ( x - π )}{π}$ .

Calculer $f (0)$ , $f (\frac{π}{2})$ et $f (π)$ .
Calculer $f^{'} (x)$ et montrer que $f^{'} (x) = cos (x) - \frac{2 x - π}{π}$ .
On admet que $f^{'}$ s'annule en un unique point $x_{0} \in] 0; π [$ . Montrer que $x_{0} = \frac{π}{2}$ est solution de $f^{'} (x) = 0$ , et vérifier.
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0; π]$ et déterminer le maximum de $f$ .

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1 Indice 1

Pour verifier les hypotheses de Rolle, controle continuite, derivabilite et l'egalite $g(0)=g(\\pi)$.

2 Indice 2

Derive $g$ : le terme $kx(x-\\pi)$ se derive comme un polynome apres developpement.

3 Indice 3

Pour la partie B, calcule $f''$ pour montrer que $f'$ est monotone et localiser son unique zero.

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