On considère la fonction f définie sur ] 0 ; + ∞ [ par : f ( x ) = arctan ( 2 x 2 1 ) + arctan ( x x − 1 ) − arctan ( x + 1 x ) Montrer que f est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ puis calculer f ′ ( x ) . Calculer f ( 1 ) puis en déduire que pour tout x ∈ ] 0 ; + ∞ [ : arctan ( 2 x 2 1 ) = arctan ( x + 1 x ) − arctan ( x x − 1 ) . On pose S n = k = 1 ∑ n arctan ( 2 k 2 1 ) . Montrer que S n = arctan ( n + 1 n ) puis calculer n → + ∞ lim S n .

Somme télescopique d'arctangentes via une fonction constante

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

On considère la fonction $f$ définie sur $] 0; + \infty [$ par :

$f (x) = arctan (\frac{1}{2 x ^{2}}) + arctan (\frac{x - 1}{x}) - arctan (\frac{x}{x + 1})$

Montrer que $f$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ puis calculer $f^{'} (x)$ .
Calculer $f (1)$ puis en déduire que pour tout $x \in] 0; + \infty [$ : $arctan (\frac{1}{2 x ^{2}}) = arctan (\frac{x}{x + 1}) - arctan (\frac{x - 1}{x})$ .
On pose $S_{n} = k = 1 \sum n arctan (\frac{1}{2 k ^{2}})$ . Montrer que $S_{n} = arctan (\frac{n}{n + 1})$ puis calculer $n \to + \infty lim S_{n}$ .

— clique pour révéler

1 Indice 1

Derive chaque $\\arctan$ avec $(\\arctan u)'=\\dfrac{u'}{1+u^{2}}$ et montre que $f'(x)=0$.

2 Indice 2

Une derivee nulle sur un intervalle signifie que $f$ y est constante : calcule $f(1)$.

3 Indice 3

Pour $S_n$, reconnais une somme telescopique en posant $a_k=\\arctan\\left(\\dfrac{k}{k+1}\\right)$.

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