Soient f et g deux fonctions dérivables sur [ 0 ; + ∞ [ telles que f ( 0 ) = g ( 0 ) = 0 . On fixe x > 0 et on suppose g ( x )  = 0 et g ′ ne s'annule pas sur ] 0 ; x [ . Montrer qu'il existe c ∈ ] 0 ; x [ tel que : g ( x ) f ( x ) = g ′ ( c ) f ′ ( c ) .

Théorème des accroissements finis généralisé

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $[0; + \infty [$ telles que $f (0) = g (0) = 0$ . On fixe $x > 0$ et on suppose $g (x) \neq = 0$ et $g^{'}$ ne s'annule pas sur $] 0; x [$ .

Montrer qu'il existe $c \in] 0; x [$ tel que :

$\frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{f ^{'} ( c )}{g ^{'} ( c )} .$

Indices

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1 Indice 1

Pour obtenir un point $c$ ou une derivee s'annule, pense a construire une fonction auxiliaire et a lui appliquer le theoreme de Rolle.

2 Indice 2

Cherche une combinaison lineaire de $f$ et $g$ qui vaut $0$ aux deux bornes, par exemple $\\varphi(t)=f(t)g(x)-g(t)f(x)$.

3 Indice 3

Verifie que $\\varphi(0)=\\varphi(x)=0$, puis ecris la condition $\\varphi'(c)=0$ et divise par $g(x)g'(c)$.

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