Soit f ( x ) = ln ( 1 + x ) . Appliquer le Théorème des Accroissements Finis (TAF) à f sur [ 0 , x ] pour x > 0 . En déduire l'inégalité : 1 + x x ≤ ln ( 1 + x ) ≤ x pour tout x ≥ 0 . Quelle est la valeur du point c donné par le TAF dans le cas x = 1 ? Appliquer le TAF à f sur [ x , 0 ] pour − 1 < x < 0 .

Théorème des accroissements finis et inégalités logarithmiques

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Soit $f (x) = ln (1 + x)$ .

Appliquer le Théorème des Accroissements Finis (TAF) à $f$ sur $[0, x]$ pour $x > 0$ .
En déduire l'inégalité : $\frac{x}{1 + x} \leq ln (1 + x) \leq x$ pour tout $x \geq 0$ .
Quelle est la valeur du point $c$ donné par le TAF dans le cas $x = 1$ ?
Appliquer le TAF à $f$ sur $[x, 0]$ pour $- 1 < x < 0$ .

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1 Indice 1

Le TAF sur $[0,x]$ donne un $c$ tel que $f(x)-f(0)=f'(c)\\,x$.

2 Indice 2

Calcule $f'(t)=\\dfrac{1}{1+t}$ et remplace, en notant que $f(0)=0$.

3 Indice 3

Encadre $\\dfrac{1}{1+c}$ en utilisant $0

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