Chemins sur une grille et formule de Pascal

On considère une grille rectangulaire dont les sommets ont des coordonnées entières. Une fourmi part du point $A(0;0)$ et veut atteindre le point $B(6;4)$. À chaque étape, elle se déplace soit d'un pas vers la droite ($+1$ en abscisse), soit d'un pas vers le haut ($+1$ en ordonnée). Tous les chemins sont donc « monotones » et de longueur minimale.

1. Justifier que tout chemin de $A$ à $B$ comporte exactement $10$ pas, puis montrer que le nombre total de chemins de $A$ à $B$ est $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{4}\right)$. Calculer ce nombre.

2. On note $C(2;3)$. Combien de chemins de $A$ à $B$ passent par le point $C$ ?

3. En distinguant, parmi tous les chemins de $A$ à $B$, le tout dernier pas (celui qui arrive en $B$), retrouver la relation de Pascal $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1}\right)$$ dans le cas $n=9$, $k=3$. Énoncer le principe général.

4. Démontrer la relation de Pascal $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1}\right)$ par le calcul, pour $0\le k\le n-1$.