Combinaisons emboîtées Soient k , p , n ∈ N avec 0 ≤ k ≤ p ≤ n . Montrer que C n k C n − k p − k = C p k C n p . En déduire la valeur de la somme S = k = 0 ∑ p C n k C n − k p − k .

Identité de combinaisons et somme associée

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Soient $k, p, n \in N$ avec $0 \leq k \leq p \leq n$ .

Montrer que $C_{n}^{k} C_{n - k}^{p - k} = C_{p}^{k} C_{n}^{p}$ .
En déduire la valeur de la somme $S = k = 0 \sum p C_{n}^{k} C_{n - k}^{p - k}$ .

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1 Indice 1

Ecrire chaque combinaison avec des factorielles et simplifier chaque membre separement.

2 Indice 2

Remarquer que dans l'identite le facteur $C_n^{p}$ ne depend pas de $k$ et peut sortir de la somme.

3 Indice 3

La somme restante $\\sum_{k=0}^{p} C_p^{k}$ se calcule par la formule du binome avec $a=b=1$.

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