Résoudre l'équation : C n 2 = 21 (trouver l'entier naturel n). Résoudre : A n 2 = 110 (trouver n ∈ N , n ≥ 2 ). Montrer l'identité suivante pour tous entiers n ≥ 1 et 0 ≤ p ≤ n : ( p + 1 ) × C n + 1 p + 1 = ( n + 1 ) × C n p En utilisant la relation de Pascal deux fois, montrer que : C n p + 2 C n p + 1 + C n p + 2 = C n + 2 p + 2

Équations combinatoires et identités

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Résoudre l'équation : $C_{n}^{2} = 21$ (trouver l'entier naturel n).
Résoudre : $A_{n}^{2} = 110$ (trouver $n \in N$ , $n \geq 2$ ).
Montrer l'identité suivante pour tous entiers $n \geq 1$ et $0 \leq p \leq n$ :
$(p + 1) \times C_{n + 1}^{p + 1} = (n + 1) \times C_{n}^{p}$
En utilisant la relation de Pascal deux fois, montrer que :
$C_{n}^{p} + 2 C_{n}^{p + 1} + C_{n}^{p + 2} = C_{n + 2}^{p + 2}$

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Remplace chaque symbole par sa formule factorielle : $C_n^2=\\frac{n(n-1)}{2}$ et $A_n^2=n(n-1)$.

2 Indice 2

Tu obtiens des equations du second degre en $n$ ; resous-les et ne garde que la solution entiere positive.

3 Indice 3

Pour les identites, developpe chaque membre avec les factorielles, ou applique la relation de Pascal $C_n^p+C_n^{p+1}=C_{n+1}^{p+1}$ en regroupant les termes deux a deux.

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